在长治和盘锦双台子地区，想要合法经营衡山日租房业务，需要按照以下步骤办理相关手续：

1. 确定房源：首先，选择适合作为衡山日租房的房源，确保房屋的结构、设施和安全条件符合要求。

2. 办理营业执照：向当地工商行政管理部门申请注册并领取《个体工商户营业执照》。提供房屋产权证明、身份证明等相关资料。

3. 办理税务登记证：取得营业执照后，前往税务局进行税务登记，获得《税务登记证》。

4. 消防安全检查：根据当地消防部门的规定，提交相关材料，接受消防安全检查，并获得相关的消防安全证书或备案证明。

5. 卫生许可证：如果提供的服务涉及餐饮、住宿等，还需办理卫生许可证，以符合卫生健康标准。

6. 特种行业经营许可证：由于衡山日租房属于旅店业范畴，因此需要向公安部门申请办理《特种行业经营许可证》。

7. 遵守法律法规：在运营过程中，必须遵守相关的房屋租赁、治安管理等法律法规，确保经营的合法合规。

通过以上步骤，在长治和盘锦双台子地区开设衡山日租房时，便能够合法地经营并提供给顾客安全的居住环境。同时，房东还需要定期对房屋进行安全检查，更新和维护设施设备，以确保旅客的安全与舒适。